Statistiques et probabilités - Cours Terminale S

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Statistiques et probabilités - Cours Terminale S

Statistiques et probabilités - Cours Terminale S

Lois normales

Théorème de Moivre-Laplace

Si Xn est une variable aléatoire qui suit une loi biomiale de paramètres n et p avec  0 < n < 1 alors on peut définir une nouvelle variable aléatoire Zn par la relation suivante:

Zn =  Xn - np  
      racine carré de np(1-p)


Cette nouvelle variable est dite aléatoire et centrée, elle possède une espérance nulle et il est possible d'exprimer les probabilités qui lui sont associées:

Si "a" et "b" sont deux réels quelconques tels que a < b alors:

P( a inférieur ou égal Zn inférieur ou égal b ) = intégrale de a à b  1   . exp(-0,5.x2)
         racine-carre-2pi


Loi normale centrée réduite N(0;1)
   
La loie normale centrée réduite que l'on note N(0 ; 1) est la loi suivie par une variable aléatoire dont la fonction de densité est définie sur la totalité de l'ensemble des réels par:

f(x) =   1   . exp(-0,5.x2)
   racine-carre-2pi                


Si une variable aléatoire X suit cette loi alors pour tous réels "a" et "b"  tels que a < b :

P( a inférieur ou égal  X  inférieur ou égal b ) = intégrale de a à b  1   . exp(-0,5.x2)
         racine-carre-2pi


Propriétés de la loi normale centrée réduite N(0;1)

La fonction "f" associée à cette loi est paire donc sa courbe représentative est symétrique par rapport l'axe des ordonnées par conséquent, pour tout réel "a" positif:

P( X supérieure ou égale a) = P( X inférieur ou égal a)

P( X supérieure ou égale 0) = P( X inférieur ou égal 0) = 0,5

P(0 inférieur ou égalinférieur ou égal a) = P (-a inférieur ou égalinférieur ou égal 0)

P(-a inférieur ou égalinférieur ou égal a) = 1 - 2P( X supérieure ou égale a) = 1 - 2P( X inférieur ou égal -a)


Si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite pour tout réel α tel que 0 < α < 1 alors il existe un seul et unique réel noté uα  tel que: P( uα inférieur ou égalinférieur ou égal uα ) = 1 - α      

Si X est une variable aléatoire suivant une loi normale centrée alors:

Son espérance est nulle : E(X) = 0

Sa variance est 1: V(X) = 1

Son écart-type est 1: σ(X)= 1


Loi normale ( μ , σ2)

Une variable aléatoire X suit une loi normale ( μ , σ2) à condition qu'une variable aléatoire Z définie par la relation Z = X - μ  suivent une loi normale centrée réduite.
                      σ          

Dans ce cas l'espérance de X est μ : E(x) = μ         

Sa variance est σ2: V(X) = σ2   

Son écart-type est σ: σ(X)= σ   


Valeurs approchées de quelques probabilités:

P( μ - σ inférieur ou égalinférieur ou égal μ + σ) environ égal à 0,68

P( μ -  inférieur ou égalinférieur ou égal μ + ) environ égal à 0,95

P( μ -  inférieur ou égalinférieur ou égal μ + ) environ égal à 0,997



Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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