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Théorème de Moivre-Laplace
Si Xn est une variable aléatoire qui suit une loi biomiale de paramètres n et p avec 0 < n < 1 alors on peut définir une nouvelle variable aléatoire Zn par la relation suivante:
Cette nouvelle variable est dite aléatoire et centrée, elle possède une espérance nulle et il est possible d'exprimer les probabilités qui lui sont associées:
Si "a" et "b" sont deux réels quelconques tels que a < b alors:
Loi normale centrée réduite N(0;1)
La loie normale centrée réduite que l'on note N(0 ; 1) est la loi suivie par une variable aléatoire dont la fonction de densité est définie sur la totalité de l'ensemble des réels par:
Si une variable aléatoire X suit cette loi alors pour tous réels "a" et "b" tels que a < b :
Propriétés de la loi normale centrée réduite N(0;1)
La fonction "f" associée à cette loi est paire donc sa courbe représentative est symétrique par rapport l'axe des ordonnées par conséquent, pour tout réel "a" positif:
Si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite pour tout réel α tel que 0 < α < 1 alors il existe un seul et unique réel noté uα tel que: P( uα X uα ) = 1 - α
Si X est une variable aléatoire suivant une loi normale centrée alors:
Loi normale ( μ , σ2)
Une variable aléatoire X suit une loi normale ( μ , σ2) à condition qu'une variable aléatoire Z définie par la relation Z = X - μ suivent une loi normale centrée réduite.
σ
Valeurs approchées de quelques probabilités:
P( μ - σ X μ + σ) 0,68
P( μ - 2σ X μ + 2σ) 0,95
P( μ - 3σ X μ + 3σ) 0,997
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