Statistiques et probabilités - Cours Terminale S

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Statistiques et probabilités - Cours Terminale S

Statistiques et probabilités - Cours Terminale S

Loi uniforme sur un intrevalle de type [a ; b]


Fonction définissant une loi uniforme

Une fonction de densité de probabilité "f" suit une loi uniforme sur un intervalle [a ; b] si "f" est une fonction constante f(x) =    1      
                           b - a
"f" est bien continue

f est positive (puisque b > a)

L'une de ses primitive est F(x) =     x        donc:
                                                      b - a      
intégrale de a à bf(x)dx =    b      -       a     
                b - a         b - a
             
              =  b -a      
                  b -a
              = 1

Les trois conditions pour que "f" soit une fonction de densité de probabilité sur [a ; b ] sont bien vérifiées

Variable aléatoire suivant un loi uniforme

Si X est une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur un intervalle [a ; b] dont la densité de probabilité est la fonction "f" alors pour tous réels "c" et "d" appartenant à [a ; b],  alors:

P( c inférieur ou égal X inférieur ou égal  d) = intégrale de c à d f(x)dx
                     = intégrale de c à d    1    dx
                            b  - a
                     =        d      -       c         
                            b - a        b - a
                     =     d - c           
                            b - a    

   P( c inférieur ou égal X inférieur ou égal  d) =  d - c         
                       b - a   


Espérance d'une variable aléatoire suivant un loi uniforme

Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [a ; b], par définition son espérance est donnée par la relation suivante:

E(X) = intégrale de a à bx.f(x)dx
E(X) = intégrale de a à bx. 1 dx
                b-a
La primitive de "x" est 0,5.x2 donc l'espéreance a pour valeur:

E(X) =   0,5    . b2 -  0,5   . a2                           
            b-a               b-a

E(X) =   0,5 (b2 - a2)      
                    b-a

E(X) =   0,5 (b - a).(b + a)      
                        b-a

E(X) = 0,5.(b +a)

L'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur un intervalle  [a ; b] est donc:

E(X) = 0,5.(b +a)



Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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