Statistiques et probabilités - Cours Terminale S

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Statistiques et probabilités - Cours Terminale S

Statistiques et probabilités - Cours Terminale S

Lois exponentielles


Définition

On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre λ  si la fonction de densité de probabilité "f" définie sur l'intervalle [ 0 ; plus l'infini [ est de la forme:

f(x) = λ.e-λx    


On peut vérifier que "f" possède les caractèristiques d'une fonction de densité de probabilité:

- Elle est bien continue 

- Elle possitive sur son ensemble de définition (une exponentielle est toujours positive)

- Puisque la primitive de "f" est   - e-λx :
                                                      
  limite lorsque t tend vest plus l'infini intégrale de 0 à tλ.e-λxdx = limite lorsque t tend vest plus l'infini -e-λt  -  -e-λ.0                                                
                       =       0        -    
-1
                       = 1
Conclusion la fonction "f" définie par f(x) = λ.e-λx est bien une fonction de densité sur [ 0 ; plus l'infini [          

Expression des probabilités

Si "a" et "b" sont deux réels positifs tels que a < b alors:

P ( a inférieur ou égal X inférieur ou égal b ) = intégrale de a à bf(x)dx
                      = intégrale de a à b λ.e-λxdx
                      = -e-λ..b - (-e-λ..a)  
                      = e-λ..a- e-λ..b   
                             

P ( a inférieur ou égal X inférieur ou égal b ) = e-λ..a- e-λ..b        

P (  X inférieur ou égal a ) = intégrale de 0 à af(x)dx

                 = intégrale de 0 à aλ.e-λxdx
 
                  = -e-λ..a -  (-e-λ.0 )
                 
                  =  -e-λ..a + 1

                 = 1 - e-λ..a     

P (  X inférieur ou égal a ) = = 1 - e-λ..a 


 a < X est l'évenement contraire de X inférieur ou égal a dont P ( a < X  ) = 1 - P (  X inférieur ou égal a )

                                                                                            = 1 - ( 1 - e-λ..a)
                                   
                                                                                            = e-λ..a    
                                                                                       

P ( a < X  ) = e-λ..a  


Espérance

Par définition l'espérance d'une variable aléatoire X qui suit une loi de densité exponentielle est :

E(X) = limite lorsque t tend vest plus l'infini intégrale de 0 à tx.λ.e-λxdx

L'une des primitives de x.λ.e-λx est -(x + 1  ).e-λx      
                                                                 λ
En effet:(  -(x + 1  ).e-λx )' = [ -(x + 1  )]'.e-λx   +   -(x + 1  )(.e-λx)'      
                         λ                             λ                             λ
                                          =  (-1).
e-λx  +  - (x + 1  )(-λe-λx)               
                                                                             λ
                                         =    -e-λx  + ( λx +1)e-λx      
           
                                        =  
 -e-λx  +  λxe-λxe-λx
                                       
                                        =
λxe-λx

Ce qui permet d'obtenir:

E(X) = limite lorsque t tend vest plus l'infini -(t + 1  ).e-λt  - -(0 +  1 )e-λ..0   
                          λ                        λ
E(X) = limite lorsque t tend vest plus l'infini -t.e-λt - limite lorsque t tend vest plus l'infini  e-λt  + (0 +  1 ).1   
                                        λ                 λ
E(X) =     0         -       0            +      1    
                                                       λ
E(X) =   1                                                        
            λ

Si X est une variable aléatoire qui suit une loi de densité exponentielle de paramètre λ alors E(X) =   1    
                                                                                                                                                                           λ
 

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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