Géométrie

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Equation de droite


Equation de courbe ou de droite

Le terme "équation", dans ce contexte, ne désigne pas une égalité utilisée pour trouver la valeur d'une inconnue, il correspond plutôt à une relation entre abscisse (x) et ordonnée (y) qui permet d'exprimer les coordonnées de tous les points d'une courbe (ou d'une droite).

Différence entre équation et fonction

Contrairement à une fonction qui à chaque abscisse n'associe qu'une seule ordonnée, une équation peut en associer plusieurs. Un fonction peut être utilisée pour définir une équation de courbe mais la réciproque n'est par systématiquement vrai.

Exemple d'équation de courbe qui n'est pas définie par une fonction : x2 +y2 = 4
Cette équation est celle d'un cercle dont le centre est l'origine ayant un rayon de valeur 2. On peut vérifier que le point de coordonnées (0 ; 2) appartient à cercle (car 02 + 22 = 4) tout comme le point (0 ; -2) (car 02 +(-2)2 = 4). Ces deux points, bien qu'ayant la même abscisse, ont des coordonnées qui vérifient l'équations et ils appartiennent tous les deux à la courbe associée à cette équation. 

Equation d'une droite verticale

Une doite verticale est constituée de points qui possèdent tous la même abscisse, son équation est:

x = c

(avec "c" une constante réelle)
Equation d'une droite verticale


Pour une telle droite, il suffit de connaître les coordonnées d'un seul des points de la droite pour en déduire l'équation.

Equation d'une droite non verticale

L'équation d'une droite non vert icale correspond à un fonction affine, elle est donc de la forme:

y = ax + b


"b" correspond à l'ordonnée à l'ordonnée à l'origine et "a" au coefficient directeur 

Si deux points de cette droite A(xA;yA) et B (xB;yB) sont connus il est possibile d'en déduire l'équation (c'est dire trouver "a" et "b" de deux manières.

Equation d'une droite non verticale


Méthode 1, résoudre un système de deux équations à deux inconnues
axA + b = yA
axB + b = yB
Il est possible de résoudre ce système d'équations soit par substitution (la première équation est utilisée pour exprimer "b" en fonction de "a" puis "b" est remplacé par cette expression dans la deuxième équation afin d'en tirer la valeur de "a". La première expression trouvée permet alors de trouver "b". On peut aussi utiliser résoudre ce système par combinaison (en multpliant les termes de la première équation afin d'obtenir un facteur de "a" opposé à celui de la deuxème équation afin d'éliminer les termes en "a" lorsque les deux équations sont ajoutées l'une à l'autre, ce qui permet d'en déduire "b" puis "a".)  

Méthode 2, calculer le taux d'accroissement
Le coefficient directeur correpond au taux d'accroissement de la fonction affine, il peut donc être calculé avec la formule suivante:     

           a = yB - yA
                              ___________
xB - xA

Une fois le coefficient directeur connu il suffit de déduire "b" de l'une des équations obtenue avec les coordonnées de A et B:  b = yA - axA  ou b = yB - axB

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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