Géométrie

Des cours gratuits de mathématiques de niveau lycée pour apprendre réviser et approfondir
Des exercices et sujets corrigés pour s'entrainer.
Des liens pour découvrir

Géométrie

Géométrie

Relation de Chasles


Enoncé et application de la relation Chasles

La relation de chasle est un cas particulier d'addition de vecteurs, elle ne peut s'appliquer que lorsque l'extrémité du premier vecteur correspond au même point que l'origine du deuxième vecteur, dans ce cas le vecteur somme possède la même origine que le premier vecteur et a la même extrémité que le second vecteur.

Exemples:

vecteur AB + vecteur bcvecteur ac
vecteur amvecteur mbvecteur AB
Vecteur cgvecteur gnVecteur CN

Remarque: le vecteur somme possède des coordonnées qui ne dépendent pas du point commun au deux vecteurs ajouté. 

Simplifier une expression vectorielle avec la relation de Chasles

Lorsqu'une expression consiste en une somme de plusieurs vecteurs il est parfois possible d'utiliser la relation de Chasles pour la simplifier.
Exemple d'expression simplifiable: vecteur gn + vecteur bc + vecteur AB + Vecteur cg

La première étape consiste à rassembler les vecteurs qui possèdent des point communs
Exemple: vecteur gn + vecteur bc + vecteur AB + Vecteur cg = vecteur AB + vecteur bc + Vecteur cg + vecteur gn

La deuxième étape consiste à vérifier si certains points sont communs à l'origine d'un vecteur et à l'origine de l'autre afin de pouvoir appliquer la relation de Chasles.
Exemple:
- C'est le cas de vecteur AB et vecteur bc donc : vecteur AB + vecteur bc = vecteur ac
- C'est le cas de Vecteur cg + vecteur gn donc : Vecteur cgvecteur gnVecteur CN
L'expression devient donc vecteur gn + vecteur bc + vecteur AB + Vecteur cg = vecteur ac + Vecteur CN

La troisième étape consiste à vérifier si une simplification supplémentaire est possible.
Exemple: dans vecteur ac + Vecteur CN le point C est l'extrémité du premier vecteur mais aussi l'origine du deuxième, on peut de nouveau utiliser la relation de Chasle.
vecteur ac + Vecteur CN = vecteur an

Dans cet exemple la relation de Chasle permet donc de passer de la somme  vecteur gn + vecteur bc + vecteur AB + Vecteur cg  au vecteur unique vecteur an

Décomposition d'un vecteur en une somme de vecteurs

La relation de Chasle peut également être utilisée pour obtenir une somme de vecteurs à partir d'un seul et unique vecteur, en effet si  vecteur AB + vecteur bcvecteur ac alors on a aussi vecteur ac = vecteur AB + vecteur bc.

D'une manière générale pour un vecteur vecteur AB et tout point M quelconque: vecteur AB = vecteur am + vecteur mb

En général le point M intermédiaire utilisé pour décomposé un vecteur n'est pas choisi au hasard, on utilise souvent un point particulier qui permet de répondre à un problème, effectuer une comparaison, etc.

Si par exemple on choisit M comme le milieu du segment [AB] alors ont a vecteur am = vecteur mb ce qui conduit à vecteur AB = 2vecteur am ou vecteur AB = 2vecteur mb

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de cookies pour réaliser des statistiques de visites

Pour en savoir plus et paramétrer les traceurs