Géométrie

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Géométrie

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Vecteurs et translations

La translation

Une translation est définie à partir de deux points A et B du plan: elle transforme le point A en point B mais elle transforme aussi, de la même manière, tout point M du plan en un point M'

Translation de A vers B


Si un point M' est l'image du point M par la translation qui transforme A en B alors les segments [AM'] et [MB] ont même milieu et reciproquement si des segments [AM'] et [MB] ont le même milieu alors on peut dire que M' est l'image de M par la translation qui transforme A en B

Milieu des segments de points issus de la même translation


Si [AM'] et [MB] ont le même milieu on peut aussi dire
- que B est l'image de A par la translation qui transforme M en M'
- que M est l'image de M' par par la translation qui transforme B en A
- que A est l'image de B par la translation qui transforme M' en M
- que M' est l'image de B par la translation qui transforme A en M
etc

Parallélogramme et translation

Si une translation transforme A en B et M en M' alors le quadrilatère ABM'M est un parallélogramme

Parallèlogramme formé par la translation de deux points


En effet, d'après ce qui précède les segments [AM'] et [MB] on même milieu ce qui constitue une propriété caractéristique des parallélogrammes.

La réciproque est égamlement vraie: si le quadrilatère ABM'M est un parallélogramme alors la translation qui transforme A en B transforme aussi M en M'.

Vecteur associé à une translation

On associe le vecteur vecteur ab à la translation qui transforme A en B

Si M'est l'image de M par la translation de vecteur vecteur ab alors vecteur mm'vecteur ab

Vecteur associé à une translation


Vecteurs égaux

Les vecteurs vecteur ab et vecteur mm' sont égaux:
- si et seulement si Les segments [AB] et [MM'] ont la même longueur, sont orientés dans le même sens, les droite (AB) et (MM') sont parallèles.
- si et seulement si le quadrilatère ABM'M est un parallélogramme.
- si et seulement si les segments [AM'] et [MB] ont le même milieu.

Propriétés de vecteurs égaux

 
Si plusieurs vecteurs sont égaux (vecteur abvecteur mm'vecteur cd etc) alors on utiliser un représentant de ces vecteurs que l'on note, en général avec une seul lettre (par soucis de simplification ) comme par exemple vecteur u

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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