Géométrie - Cours Première S

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Géométrie - Cours Première S

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Résoudre des équations avec des fonctions sinus et des cosinus

Les résultats obtenus en comparant les cosinus et sinus d'angles associés permettent de proposer des solutions à certaines équations faisant intervenir des sinus et des cosinus. En particulier il est maintenant possible de résoudre des équations de forme sin(x) = sin(a) ou cos(x) = cos (a)

Résoudre une équation du type sin(x) = sin(a)

On cherche les solutions de l'équation  sin(x) = sin(a) où x est l'inconnue et "a" une constante réelle

Première solution: x = a

Cette solution s'acompagne également de tous les angles qui lui sont équivalent et égaux à

x = a + k2π  avec k un entier relatif
 
Par ailleurs le sinus d'un angle a la même valeur que le sinus de son angle supplémentaire, une autre solution est donc:

x = π - a

Cet angle est équivalent a tous ceux obtenus en ajoutant un multiple de 2π on peut donc inclure aussi les solutions:

x = π - a  + k2π  ou k est un entier relatif  

L'équation sin(x) = sin(a) comprend donc une infinité de solutions correspondant aux réels tels que

                
Résoudre une équation du type cos(x) = cos(a)

On cherche les solutions de l'équation cos(x) = cos(a) où x est l'inconnue et "a" une constante réelle

Première solution: x = a

Cette solution s'acompagne également de tous les angles qui lui sont équivalent, on peut donc élargir l'ensemble des solutions à: 

x = a + k2π  avec k un entier relatif
 
Par ailleurs le cosinus d'un angle a la même valeur que le cosinus de son angle opposé, une autre solution possible est donc:

x = - a

Cet angle est équivalent a tous ceux obtenus en ajoutant un multiple de 2π on peut donc ajouter également les solutions suivantes:

x = - a  + k2π  ou k est un entier relatif  

L'équation cos(x) = cos(a) comprend donc une infinité de solutions correspondant aux réels tels que