Statistiques et probabilités - Cours Terminale S

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Statistiques et probabilités - Cours Terminale S

Statistiques et probabilités - Cours Terminale S

Lois exponentielles

Définition

On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre λ  si la fonction de densité de probabilité "f" définie sur l'intervalle [ 0 ; [ est de la forme:

On peut vérifier que "f" possède les caractèristiques d'une fonction de densité de probabilité:

- Elle est bien continue 

- Elle possitive sur son ensemble de définition (une exponentielle est toujours positive)

- Puisque la primitive de "f" est   - e^-λx :
                                                      
   λ.e^-λxdx =  -e^-λt  -  -e^-λ.0                                                
                       =       0        -     -1
                       = 1
Conclusion la fonction "f" définie par f(x) = λ.e^-λx est bien une fonction de densité sur [ 0 ; [          

Expression des probabilités

Si "a" et "b" sont deux réels positifs tels que a < b alors:

P ( a  X b ) = f(x)dx
                      = λ.e^-λxdx
                      = -e^-λ..b - (-e^-λ..a)  
                      = e^-λ..a- e^-λ..b   
                             

P (  X a ) = f(x)dx

                 = λ.e^-λxdx
 
                  = -e^-λ..a -  (-e^-λ.0 )
                 
                  =  -e^-λ..a + 1

                 = 1 - e^-λ..a     

 a < X est l'évenement contraire de X a dont P ( a < X  ) = 1 - P (  X a )

                                                                                            = 1 - ( 1 - e^-λ..a)
                                   
                                                                                            = e^-λ..a    
                                                                                       

Espérance

Par définition l'espérance d'une variable aléatoire X qui suit une loi de densité exponentielle est :

E(X) = x.λ.e^-λxdx

L'une des primitives de x.λ.e^-λx est -(x + 1  ).e^-λx      
                                                                 λ
En effet:(  -(x + 1  ).e^-λx )' = [ -(x + 1  )]'.e^-λx   +   -(x + 1  )(.e^-λx)'      
                         λ                             λ                             λ
                                          =  (-1).e^-λx  +  - (x + 1  )(-λe^-λx)               
                                                                             λ
                                         =    -e^-λx  + ( λx +1)e^-λx      
           
                                        =   -e^-λx  +  λxe^-λx +  e^-λx
                                       
                                        = λxe^-λx

Ce qui permet d'obtenir:

E(X) = -(t + 1  ).e^-λt  - -(0 +  1 )e^-λ..0   
                          λ                        λ
E(X) = -t.e^-λt -  e^-λt  + (0 +  1 ).1   
                                        λ                 λ
E(X) =     0         -       0            +      1    
                                                       λ
E(X) =   1                                                        
            λ

Si X est une variable aléatoire qui suit une loi de densité exponentielle de paramètre λ alors E(X) =   1    
                                                                                                                                                                           λ