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Etablir l'équation d'un cercle à partir de son diamètre
Si AB est le diamètre d'un cercle de centre O alors celui-ci possède une propriété qui peut être exploitée pour établir son équation:
Si un point M(x;y) appartient au cerle alors (AM) est perpendiculaire à (BM) autrement dit les vecteurs et
sont orthogonaux.
Le produit scalaire de ces deux vecteur est donc nul: .
= 0
Or ce produit scalaire peut également être exprimé à partir des coordonnées des vecteur:
.
= xAM.xBM + yAM.yBM
= (x-xA).(x-xB) + (y-yA).(y-yB)
Puisque le produit scalaire est nul on obtient donc l'équation du cercle:
(x-xA).(x-xB) + (y-yA).(y-yB) = 0
Etablir l'équation d'un cercle à partir de son rayon
Le produit scalaire précédent (.
) peut être développé:
.
= (
+
).(
+
)
= .
+
.
+
.
+
.
= (+
).
+
.
+
2
Puisque O est le milieu du segment [AB] = -
donc
+
=
et
.
= -
.
= - AO2 on obtient donc;
.
=
.
- AO2 +
2
= - AO2 + 2
Puisque le produit scalaire .
est nul ont obtient on trouve l'équation:
2 - AO2 = 0
AO peut être noté R puisqu'il correspond au rayon donc:
(x-xO)2 + (y-yO)2 + R = 0
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