Les fonctions - Classe de seconde

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Les fonctions - cours de seconde

Expressions algébriques

Factoriser

Qu'est-ce qu'une factorisation ?

Factoriser consiste à transformer une somme en un produit, c'est une des opérations (avec le développement) qui permet de modifier une expression algébrique afin, par exemple de résoudre une équation ou une inéquation. Elle peut se faire soit par reccherche d'un facteur commun soit en faisant appel à une indentité remarquable.

Qu'est-ce qu'un facteur commun ?

Un facteur commun est un nombre, une variable ou une expression que l'on retrouve comme facteur multiplicatif au sein des différents termes d'une somme.
Par exemple:
- "a" est le facteur commun des termes de la somme: aA + aB + aC
- "(a+x)" est le facteur commun des termes de la somme: 2(a+x) + (a+x).2x - 5(a+x)
- "x" est le facteur commun des termes de la somme: 3x - 4x(2x+3) + 5x

Identifier un facteur commun

Pour identifier un facteur commun il faut dans un premier temps essayer d'exprimer chaque terme de la somme comme un produit.

Exemples
- L'expression 2x + 3x2 peut s'écrire 2x +3x.x ce qui fair apparaitre "x" comme facteur commun
- L'expression 6x + 2 + (3x + 1)2 peut s'évrire 2(3x +1) + (3x +1)(3x +1) ce qui fait apparaitre (3x +1) comme facteur commun.

Lorsque la décomposition des différents termes en produit n'est pas possible ou lorsqu'elle ne permet par de faire apparaître un facteur commun alors on peut essayer d'exploiter les identités remarquables pour le mettre en évidence.

Exemple
L'expression x + 2 + x2 -4 peut s'écrire (x+2) + (x+2)(x-2) ce qui fait apparaitre (x+2) comme facteur commun. 

Factoriser en utilisant un facteur commun

Lorsque le facteur commun est identifié il reste à réunir les termes auxquels il est multiplié dans l'expression initiale, on les ajoute dans une parenthèse que l'on multiplie par le facteur commun.
Voici les factorisations obtenues si l'on reprend les exemple précédents:

aA + aB + aC = a(A + B + C)

2(a+x) + (a+x).2x - 5(a+x) = (a+x)[2 + 2x -5]
                                          = (a+x)(2x -3)

3x - 4x(2x+3) + 5x = x[3 - 4(2x+3) +5]
                              = x(3 -8x -12 +5)
                              = x(-4 - 8x)

2x + 3x2 = 2x +3x.x
              = x(2 + 3x)

6x + 2 + (3x + 1)2= 2(3x +1) + (3x +1)(3x +1)
                            = (3x +1)[2 + (3x +1)]
                            = (3x +1)(3x +3)

x + 2 + x2 -4 = (x+2) + (x+2)(x-2)
                     = (x+2)[ 1 + (x-2)]
                     = (x+2)(x -1)

Remarque: on peut vérifier qu'il n'y a pas d'erreur en développant l'expression factorisée et en s'assurant que le résultat est identique à l'expression initiale.

Factoriser avec une identité remarquable

Voici les principlales identités remarquables à connaitre et à savoir utiliser au lycée, la principale difficulté est de repérer (ou de mettre en évidence) au sein d'une expression les termes qui peuvent être assimilés à ceux d'une identité remarquable.

Identité n°1:                                                          a2 - b2 = (a + b)(a-b)

Pour l'utiliser l'expression initiale doit pour voir prendre la forme de la différence de deux carré (carré d'un nombre, d'une variable ou d'une expression complète)

Exemples

9x2- 4 = (3x)2 - (2)2 donc 3x correspond au terme "a" et "2" au terme "b"
           = (3x + 2)(3x - 2)
  
Dans l'expression (6x +2)2 - (x-1)2, on peut identifier (6x +2) qui correspond au terme "a" et (x-1) qui correspond au terme "b" donc:
(6x +2)2 - (x-1)2 = [(6x +2) + (x-1)][(6x +2) - (x-1)]
                           = (7x +1)(5x + 3)

Identité n°2:                                                      a2 + 2ab + b2 = (a +b)2

Remarque: il s'agit bien d'une factorisation puisque (a + b)2 = (a + b)(a + b)

Exemples

4x2 + 20x +20 = (2x)2 + 2.2x.5 + 52   donc "2x" correspond au terme "a" et "5" au terme "b"
                        = (2x + 5)2

Dans l'expression (2x +1)2 + 2x(2x+1) + x2, (2x + 1) correspond au terme "a" et "x" correspond au terme "b" donc
(2x +1)2 + 2x(2x+1) + x2 = [ (2x +1) +x]
                                        = (3x +1)2

Identité n°3:                                                   a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

Exemple
16 - 24x + 9x2 = 42 -2.4.3x + (3x)2 donc "4" corresond au terme "a" et "3x" au terme "b"
                         = (4 - 3x)2

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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