Les fonctions - Classe de seconde

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Les fonctions - cours de seconde

Fonctions de réference

fonction inverse

Définition

Comme son nom l'indique, la fonction inverse associe à chaque nombre de son ensemble de définition une image qui correspond à l'inverse de ce nombre, elle est définie par la formule:
f(x) =  1  
           x

Ensemble de définition

La division est possible par tout nomber réel sauf pour zéro qui est exclu de l'ensemble de définition de la fonction inverse. La fonction inverse est donc définie sur l'inervalle ]Moins l'infini ; 0[ U ]0 ; Plus l'infini[ que l'on peut également noté R -{0} ou R*

Courbe représentative

La fonction inverse est représentée par une courbe appelée hyperbole qui est symétrique par rapport à l'origine du repère c'est à dire le point O de coordonées ( 0 ; 0 ). Cette symétrie implique que si un point (x1 ; y1) appartient à la courbe alors le point (-x1 ; -y1)  lui appartient aussi. Les variations de la fonction sont plus importantes à proximité de l'origine, par conséquent son tableau de de valeurs doit comporter davantages de points dans cette zone.

Exemple de tableau de valeurs

x -10 -5 -2 -1 -0,5 -0,2 -0,1 0,1 0,2 0,5 1 2 5 10
f(x) -0,1 -0,2 -0,5 -1 -2 -5 -10 10 5 2 1 0,5 0,2 0,1
Courbe représentative de la fonction inverse

courbe représentative de la fonction inverse

Antécédent

Tous les nombres de l'ensemble des réels possèdent un seul et unique antécédent par la fonction inverse à l'exception de zéro qui n'en possède aucun.

Si l'on recherche l'antécédent x1 d'un nombre y1 alors:
f(x1) = y1
  1   =  y1
 x1 
x1 =  1  
        y1
L'antécédent d'un nombre y1 est donc son inverse  1  
                                                                                  y1

Variations

La fonction inverse est décroissante sur l'intervalle ]Moins l'infini ; 0[ puis sur l'intervalle ] 0 ; Plus l'infini [ mais on ne peut pas considérer qu'elle est décroissante sur la totalité de son ensemble de définition en raison de la discontinuité qui existe entre les deux parties de ce dernier et qui implique que pour tout x1 appartenant à ]-Moins l'infini ; 0[ et tout x2 appartenant à ] 0 ;  [  alors f(x1Plus l'infini)  < f(x2) (car f(x1) est négatif et f(x2) est positif).

Tableau de variation

tableau de variation de la fonction inverse


Signe

La fonction inverse est negative sur ]-Moins l'infini ; 0[ et positive sur  ] 0 ; +inf [

signe de la fonction inverse
Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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