Les fonctions - Classe de seconde

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Les fonctions - cours de seconde

Equations

Résolution algébrique d'équations

  Qu'est-ce qu'une résolution d'équation ?

Résoudre une équation consiste à trouver la ou les valeurs prises par une (parfois plusieurs) variables à partir d'une égalité entre deux expressions.
Exemple
Résoudre l'équation  x + 3 = 4  signifie trouver les valeurs qui permettent à l'égalité x +3 = 4 d'être vérifiée.

Méthode générale pour résoudre une équation

Si l'équation est une égalité du type A(x) = B(x) alors pour la résoudre il faut chercher à isoler la variable x en obtenant une expresion la forme x = C ou une écriture particulière (équation produit ou quotient par exemple) qui permette de de déduire  les différentes solutions.  

Pour modifier l'expression initiale et obtenir une expression qui permette d'exprimer la valeur des différentes solution on applique une règle fondamentale

Il est possible de réaliser n'importe quelle opération (additionn, soustraction, multiplication, division, racine carrée etc) sur le membre de gauche de l'égalité à condition de réaliser la même opération sur le membre de droite et à condition que l'opération soit mathématiquement possible (pas de division par zéro par exemple).

Isoler la variable "x" dans les cas les plus courants

- Eliminer une constante ajoutée
        x + a = c
        x + a - a = c - a
        x = c - a

- Eliminer un facteur
        ax = c
        ax  =    c  
         a         a
        x  =  c    
                a     
 
- Eliminer un quotient
 x = c
 a
 x . a = ac      
 a
x = ac

- Faire passer x du dénominateur au numérateur
 a  = c
 x
     1        =       1    
     a                 c
     x  
 x  =  1  
 a      c

 x  . a=  1  . a
 a          c

x = a    
      c

- Eliminer une racine
 racine carrée de x = a
(racine carrée de x)2 = (a)2
x = a2

- Eliminer un carré
x2 = a
  racine carrée de x= (a)2
x = ou x = -
 
Equations et fonctions

Lorsqu'on cherche les antécédents d'un nombre "a" par une fonction "f" cela revient à resoudre l'équation f(x) = a. Il est parfois possible de faire la comparaison inverse et d'assimiler la résolution d'une équation à la recherche d'antécédents ce qui permet d'exploiter les connaissances des fonctions de références ainsi que les techniques d'étude de fonction.

Equation produit

Il s'agit d'une équation qui se présente sous la forme d'un ou de plusieurs produits dont le résulltat est nul, c'est donc, par exemple, une équation de type A(x).B(x)=0, A(x).B(x).C(x)=0 etc. Il est possible de l'obtenir par factorisation et elle présente l'avantage d'avoir des solutions plus simples à trouver qu'une forme dévelopée du second degré (ou d'un degré supérieur) puisqu'elles correspondent aux valeurs de "x" qui permettent chacun des termes du produit:
- Pour une équation produit de la forme A(x).B(x)=0 les solutions sont les valeurs de x telles que A(x) = 0 ou B(x) = 0.
- Pour une équation produit de la forme A(x).B(x).C(x)=0 les solutions sont les valeurs de x telles que A(x) = 0 ou B(x) = 0 ou C(x) = 0.

Equation quotient

C'est une équation qui se présente sous forme d'une fraction dont le résultat est nul c'est donc une équation de forme:
 A(x)  = 0  
 B(x)
Une équation de ce type peut être obtenue en réunissant les différents termes dans le même membre de l'égalité puis en les réduisant au même dénominateur. Ses solutions sont les valeurs qui permettent d'annuler le numérateur sans annuler le dénominateur.
Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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