Les fonctions - Classe de seconde

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Les fonctions - cours de seconde

Chapitre 1: Les fonctions

Ensemble de définition

Définition

Aussi appelé "domaine de définition", souvent noté D, il correspond à l'ensemble des nombres dont la fonction donne une image.

Limitation volontaire

Même s'il coïncide souvent avec l'ensemble des nombres réels, on peut choisir de le limiter à une partie de cet ensemble (un intervale ou une réunions d'intervalles) ou à l'un de ses sous-ensembles (rationnels, décimaux, entiers etc). Dans ce cas la limitation est indiquée, et en l'absence de précision accompagnant la définition d'une fonction on peut supposer qu'aucune limitation n'est imposée.

Restriction liée à la formule

Lorsqu'une fonction est définie à partir d'une formule son ensemble de définition exclut forcément les nombres pour lesquels cette formule ne peut  pas être appliquée. Les deux principaux cas concernent l'utilisation de fractions et de racines carrées:
- Une fraction ne peut pas avoir un dénominateur nul car la division par zéro n'est pas possible, si une fonction inclut un terme en  fonction inverse cela signifie donc que 0 est exclu du domaine de définition, si une fonction inclus un terme en fonction 1:(a-x) alors "x=a" est exclu et plus généralement s'il y a un terme de forme fonction de forme 1/A(x) alors toutes les valeurs de x pour lesquelles l'expression A(x) s'annule sont hors du domaine définition.
- Une racine carrée n'existe que pour un nombre positif ou nul et par conséquent si une fonction comprend un terme racine carré de x alors tous les réels négatifs sont exclus du domaine de définition, plus généralement, s'il y a un terme de la forme racine carré de B(x) alors le domaine de définition est restreint aux nombres réels tels que B(x)symbole mathématique supérieur ou égal  0.

Restriction liée à la nature des variables

Si la variable d'une fonction correspond à une grandeur physique alors celle-ci peut connaître des limitations liée aux lois de la physique.
Exemples:
- Si la variable correspond à une température alors elle ne peut pas prendre des valeurs inférieures à -273,15 °C (ou à 0°K) qui correspond au zéro absolu, l'ensemble de définition sera donc inclu dans l'intervalle [-273,15°C; plus l'infini[ (ou [0°C; plus l'infini[).
- Si la variable correspond à une vitesse alors la relativité restreinte indique que sa valeur ne peut pas dépasser 300 000 km/s.

Restrictions liées au mode de définition
- Si une fonction est définie par un tableau de valeurs alors l'ensemble définition possède comme bornes les valeurs minimale et maximale indiqées dans la première ligne du tableau (celle de la variable).
- Si une fonction est définie par un graphique alors l'ensemble de définition coïncide avec l'intervalle des abscisses pour lesquelles la courbe est tracée. Aux extrêmité, des conventions permettent de savoir, de distinguer des points exclus du domaine de définition (souvent symbolisé par un demi cercle orienté vers l'extérieur de la courbe) de ceux qui en font partie ( souvent représentés par un point).

Crédit : Site internet réalisé par Sorecson
Cours de mathématiques collège

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